🦗 Hay un insecto en Norteamérica que pasa 13 o 17 años bajo tierra antes de salir a la superficie... y nunca 12, 14, 15, 16 ni 18 años.
¿Por qué precisamente esos dos números?
No te lo vamos a responder todavía. Al final de la unidad, con lo que hayamos aprendido sobre múltiplos, divisores y el mínimo común múltiplo, resolveremos juntos el misterio.
Antes de empezar
Qué son, cómo se calculan y sus propiedades.
Reglas rápidas para saber si un número es divisible por otro.
Divisores propios e impropios, y la criba de Eratóstenes.
Expresar un número como producto de números primos.
Máximo común divisor, mínimo común múltiplo y el algoritmo de Euclides.
Repartos, agrupamientos y coincidencias periódicas... como la de la cigarra.
Iremos alternando explicaciones con retos marcados así:
📘 Actividad del libro ✨ Reto extra
Objetivos
Bloque 1 · Múltiplos y divisores
Por ejemplo, 42 es múltiplo de 7 porque 42 = 7 · 6.
Para indicar el conjunto de múltiplos de un número natural, se pone un punto sobre dicho número:
El conjunto de múltiplos de un número natural es infinito, es decir, no tiene fin.
Bloque 1 · Múltiplos y divisores
Así, 4 es divisor de 12 porque la división 12 : 4 = 3 es exacta.
Para encontrar los divisores de un número, se divide dicho número entre los números naturales menores que él, de modo que la división sea exacta. Al ordenarlos de menor a mayor y multiplicar el primer divisor por el último, el segundo por el penúltimo... se obtiene siempre el número inicial:
A diferencia de los múltiplos, todo número tiene una cantidad finita de divisores.
Todo número tiene al menos dos divisores: el 1 y él mismo, excepto el 1, que solo se divide por sí mismo:
Bloque 1 · Múltiplos y divisores
| Propiedades de los múltiplos | |
|---|---|
| Todo número es múltiplo de sí mismo y de 1. | 6 = 6 · 1 |
| La suma o la resta de dos múltiplos de un número, a la vez, es también múltiplo de dicho número. | 4 y 6 son múltiplos de 2, por lo que: 4 + 6 = 2·2 + 2·3 = 2·(2+3) = 2·5 = 10 |
| Propiedades de los divisores | |
|---|---|
| Todo número es divisor de sí mismo, el 1 es divisor de cualquier número. | 6 : 6 = 1 6 : 1 = 6 |
| Si un número es divisor de otros dos, también lo es de su suma o de su diferencia. | 3 es divisor de 27 y de 18, por lo que: 27 − 18 = 3·9 − 3·6 = 3·(9−6) = 3·3 = 9 |
Quedan 13 objetos.
a) Describe una partida jugada contra el ordenador. Sabes que, para ganar, tienes que dejarle 5 objetos en tu penúltimo turno, ¿pero cuántos objetos deberías dejar en los turnos anteriores?
b) ¿Qué tiene que ver todo esto con la divisibilidad?
c) ¿Tiene igual probabilidad de ganar el jugador o jugadora que empieza respecto a quien juega en segundo lugar?
Bloque 2
Si una división es exacta, se establece una relación de divisibilidad entre los números que la componen: si a : b = c es exacta, entonces a es múltiplo de b y de c, y b y c son divisores de a.
Los criterios de divisibilidad son reglas que indican de forma inmediata si un número es divisor de otro, sin necesidad de hacer la división. Haz clic en cada uno para ver el ejemplo:
Con estos criterios, podemos saber que 315 es divisible por 3, por 5, por 7 y por 9, sin hacer ninguna división.
Bloque 3
Los divisores de un número pueden ser de dos tipos:
Por ejemplo, los divisores de 20 son:
Así, 5 y 19 son números primos, ya que D(5) = {1, 5} y D(19) = {1, 19}.
De esta forma, 8 y 12 son compuestos, pues D(8) = {1, 2, 4, 8} y D(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}.
Eratóstenes de Cirene fue un matemático, astrónomo y geógrafo griego, conocido también por calcular la circunferencia de la Tierra. Ideó un método muy visual para encontrar todos los números primos hasta un límite dado: la criba de Eratóstenes.
Bloque 4
Cualquier número se puede expresar de diferentes formas: con dígitos y como producto de sus divisores. De todas ellas hay una expresión única, como producto de factores primos:
Se puede representar de forma gráfica con un árbol de factores, dividiendo sucesivamente entre divisores primos, de menor a mayor, hasta obtener el cociente 1. Por ejemplo, 30 y 150:
El procedimiento consiste en ir dividiendo sucesivamente los cocientes entre los divisores primos ordenados de menor a mayor, hasta obtener el cociente 1.
Para descomponer un número en factores primos, se divide entre el divisor primo más pequeño del número y se repite el proceso hasta que el cociente sea 1.
| 132 : 2 = 66 | 66 : 2 = 33 | 33 : 3 = 11 | 11 : 11 = 1 |
También se puede representar la factorización de un número de forma gráfica mediante los diagramas de números factorizados: círculos que indican los números en los que se descompone el número dado.
Ejemplo con el 20 = 2 · 2 · 5: dos círculos, repetidos 2 veces, y el conjunto repetido 5 veces.
Todo número primo se descompone únicamente en el producto de sí mismo y del 1. Por ejemplo, 3 es primo, ya que solo tiene por divisores el 1 y el 3. A partir de aquí, se deducen los diagramas del 9 y del 6:
🟢🟢🟢
(3 · 3)
🟢🔴
(2 · 3)
Bloque 5
Para calcularlo:
Los factores comunes elevados al menor exponente son 2 y 3:
Euclides de Alejandría, en el libro VII de sus Elementos, describió un método para calcular el m.c.d. sin descomponer en factores primos:
| Dividendo | Divisor | Cociente | Resto |
|---|
Bloque 5
Para calcularlo:
Bloque 5
Comprobación: 45 = 3² · 5; 36 = 2² · 3². m.c.d.(45, 36) = 3² = 9; m.c.m.(45, 36) = 2² · 3² · 5 = 180. ✔
Bloque 6 · Aplicaciones
Se quiere organizar un restaurante con 40 comensales de modo que en todas las mesas haya el mismo número de personas. Para ver qué conjuntos de números a y b cumplen que a · b = 40, se hallan los divisores de 40.
| Nº comensales/mesa | 1 | 2 | 4 | 5 | 8 | 10 | 20 | 40 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Nº de mesas | 40 | 20 | 10 | 8 | 5 | 4 | 2 | 1 |
Hay, pues, ocho formas de colocarlos. Si las mesas admiten entre 2 y 6 comensales, solo hay tres formas posibles: 2, 4 o 5 comensales por mesa.
Bloque 6 · Aplicaciones
El huerto del instituto de Inés tiene 560 cm de largo por 420 cm de ancho. Se quieren hacer parcelas cuadradas iguales lo más grandes posible para cultivar diferentes hortalizas.
Bloque 6 · Aplicaciones
Alicia libra en el trabajo cada 8 días, y Juan, cada 9. ¿Cada cuántos días libran a la vez los dos compañeros?
Como Alicia libra cada 8 días y Juan cada 9, hay que hallar el m.c.m., que será el primer múltiplo común de ambos números: 8 = 2³, 9 = 3² → m.c.m.(8, 9) = 2³ · 3² = 72. Es decir, libran a la vez cada 72 días.
Si empezaran librando los dos el 1 de septiembre, habría que sumar 72 días: el 12 de noviembre volverían a tener un día libre a la vez.
Lucía tiene un bote lleno de canicas. Su amigo Julián le pregunta si sabe cuántas canicas hay en él, a lo que Lucía contesta:
Julián replica: «Me faltan datos». Y Lucía concluye: «Es verdad: también es divisible por 4».
¿Puedes ayudar a Julián a encontrar el número de canicas buscado?
Números entre 300 y 400: 99 posibilidades.
Carlos quiere introducir peces en su pecera, pero esta solo tiene capacidad para un máximo de 40.
Para terminar
¿Por qué esta cigarra pasa 13 o 17 años bajo tierra, y nunca 12, 14, 15, 16 o 18?
La hipótesis científica más conocida es la siguiente: si un depredador tiene un ciclo de vida de, por ejemplo, 4 años, y la cigarra emergiera cada 12 años (múltiplo de 4), coincidiría con ese depredador cada vez que sale a la superficie. En cambio, si su ciclo dura un número primo de años, como 13 o 17, el mínimo común múltiplo entre su ciclo y el de casi cualquier depredador es mucho mayor: con un depredador de ciclo 4, el m.c.m. sería 13 · 4 = 52 años en vez de solo 12. Eso significa muchísimas menos coincidencias a lo largo de su historia evolutiva.
Fuente de referencia: Cox, R. T. & Carlton, C. E. (1988), American Midland Naturalist; revisiones posteriores recogidas en PMC (2020). Es la hipótesis más citada, aunque no la única propuesta para explicar este fenómeno.
En esta unidad hemos visto que los múltiplos, los divisores, los números primos y el m.c.m. no son solo "cosas del examen": aparecen en juegos de estrategia, en el reparto de un huerto, en los turnos de trabajo... y hasta en la supervivencia de un insecto.